山东教师资格

辅导咨询

热点推荐

您现在的位置:首页 > 教师资格 > 阅读资料 > 学科知识与能力 >

2018山东教师资格考试—数学归纳法

2018-08-18 09:00:05|

数学归纳法属于推理与证明中证明中的比较常用的方法,下面我简单说说我自己对数学归纳法的理解。

1 数学归纳法的原理

设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果证明起始命题P1成立;在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立。

2 数学归纳法的适用范围

数学归纳法是以正整数的归纳公理作为它的理论基础,因此,数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题,它能帮助我们判断种种与正整数n有关的猜想的正确性。

3 用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤

第一步:证明当n取第一个值n0时结论正确;

第二步:假设当n=k(k属于正整数且大于或等于n0)时结论正确(归纳假设),证明当n=k+1时结论也正确。

综合第一步、第二步,对任何n属于正整数时命题都成立。

用数学归纳法进行证明时要分两个步骤,缺一不可。因为证明了第一步就获得了递推的基础,但仅靠这一步你还不能说明结论的普遍性。在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数;证明了第二步就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础,只有把第一步和第二步结合起来,才能获得普遍性的结论,因此,完成了第一步、第二步后,还要做一个总的结论。

在第二步中,在递推之前,n=k时结论是否成立是不确定的,因此用假设二字,这一步的实质是证明命题对n=k的正确性可以传递到n=k+1时的情况。有了这一步,联系第一步的结论(命题对n=n0成立),就可以知道命题对n0+1也成立,进而再由第二步可知n=(n0+1),即n=n0+2也成立………..这样递推下去就可以知道对于所有不小于n0的正整数都成立。在这一步中,n=k时命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1是的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明,不能直接将n=k+1代入命题。

4 数学归纳法的应用

用数学归纳法证明恒等式

用数学归纳法证明恒等式时,首先要搞清楚等式两边的结构特点,注意由n=k到n=k+1时等式两边项的变化情况,关键是如何将式子转化为与归纳假设结构相同的形式,以便使用归纳假设。

证明不等式、证明几何问题、证明数或式的整除问题。

 注:本站稿件未经许可不得转载,转载请保留出处及源文件地址。
(责任编辑:实习编辑05)

免责声明:本站所提供真题均来源于网友提供或网络搜集,由本站编辑整理,仅供个人研究、交流学习使用,不涉及商业盈利目的。如涉及版权问题,请联系本站管理员予以更改或删除。

微信公众号
微博二维码
咨询电话(9:30-23:30)

400 6300 999

在线客服 点击咨询

投诉建议:400 6300 999转4